Kaos og spektralerne

For nogle komponister motiveres deres teoretiske grundlag på baggrund af filosofiske overvejelser. Astrologi kan tilføje skalaens trin/toner en ekstramusi-kalsk betydning, naturtonerækken benyttes ofte med 'grønne' og/eller 'holistiske' undertoner. Dette står over for rækkemanipulationer og sæt-teori, der opfattes som udtryk for en opsplittet 'sort' fremskridts-tro og reduktionisme (hvad de undertiden også er!).

Xenakis' tidlige værker postuleres at være 'komplekse' ligesom Feldman's kaldes 'minimalistiske', selvom disse etiketter i virkeligheden med stor ret kan ombyttes: Xenakis' brug af logik og mængdeberegninger har minimalistiske træk, ligeså snart man forstår formlernes determinisme. Og Feldmans rytmik i de seneste værker kan med stor ret udnævnes til at være musikhistoriens mest komplekse blå. fordi de konstitueres af ikke-lineær tænkning. (Ikke-lineær tænkning er tankeveje, hvor sammenhængen mellem årsag og virkning er skjult).

Tilstedeværelsen af 'mange-noder-på-kort-tid', er ikke udtryk for andet end et kompositions-æstetisk valg. På den anden side: barndommens uskyld er tabt for både mig og mine læsere og tilhørere. En komposi-tionsæstetik, som desperat søger at genskabe erindringen om det ukomplicerede, den fordringsløse barndom, det 'tabte land', den hører hjemme i privatsfæren.

Det var derfor temmelig patetisk da 'postmodernismen' for et par år siden stod på dagsordenen; endelig kunne man (ganske misforstået, for postmodernisme handler om noget andet) motivere nostalgien som æstetik: nu 'måtte' man igen skrive melodisk, nu kunne man igen voldtage det klassiske formsprog. Som om vi levede i en fuldbyrdelse af en dogmatisk teori! Som om fravalget ikke er det vigtigste. Fravalg som følge af respekt og ikke som dogmatik.

Postmodernismen blev så straks fulgt op af 'paradigmeskiftet' - endelig kan vi få hold på kaos! 'Gud' bliver igen en håndterlig størrelse, af en størrelsesorden vi kan tro på: Feigenbaums universelle konstanter fremfor den uoverskuelige mængde, som de klassiske naturvidenskaber disker op med.

Vi er alle med på forståelses vognen: Kunst og Kaos.

Nu er så 'de spektrale aspekter' kommet i accendanten (er det ikke dét, det hedder?). Hvorfor skal vi have en 'tro'? Hvorfor skal musikken være udtryk for denne tro? Omvendt: vi kunne ønske at acceptere tilværelsens ulidelige mangfoldighed. Musik accepteres som et supplerende personligt korrektiv, endnu en 'konstant' blandt så mange andre. Vi kan aldrig opnå 'troen', for hvis den bliver begribelig har den opløst sig selv. Dét er musik det bedste medie til at udtrykke, men kun gennem sin abstraktion.

Sproget er forbistret konkrét og formidler også noget 'mellem linierne'. Dét, det læses mellem linierne er imidlertid en afspejling af den læsende person - ikke nødvendigvis den skrivende. Når jeg derfor nedenfor søger at beskrive hvilken betydning 'den spektrale tænkning' har for mig som komponist, ønsker jeg ikke, at mine læsere tillægger mere betydnings-indhold end det faktisk skrevne (umkommende opstanden omkring min kritik af DUT i et tidligere nummer af DMT!).

Det spektrale aspekt tilføjer - for mig - endnu en kompositorisk teknik, hvorved musikkens grad af éntydighed kan mindskes. En tolvtonerække er en 'række' og intet andet, og derfor kunstnerisk uinteressant. Det samme gælder en overtonerække. Men den spektrale belysning af tolvtonerækken muliggør en perspektivering. Det er dette forhold jeg vil beskrive med et konkret eksempel. Eksemplet er analytisk - det vil sige en efterrationalisering af (og altså ikke identisk med) den kompositoriske proces.

I eksempel l ser vi tonegruppen: { e, f, f#, g#, h, c } og gruppen indeholder 3 kvint-intervaller: e-h, f-c og f#-h. Vi kan derfor etablere 3 transpositioner af tonegruppen, der indeholder en fælles kvint som feks. kvinten: a-d (eksempel 2a, næste side). Ydermere kan man feks. projicere transpositionerne ind i et aggregat og derved opnå 3 akkorder (eksempel 2b), der på én gang er beslægtede gennem deres intervalliske indhold, men som også gennem deres (påtvungne) omlægning har en forskellig harmonisk vægt/funktion. Intuitivt opfattes de to første akkorder nok mere beslægtede indbyrdes end med den tredie akkord, der virker mere dissonerende. Kan man etablere en evaluering af disse intuitive fornemmelser?

I Det Kongelige Danske Musikkonservatoriums elektro-akustiske studie har vi udviklet en spektral analyse-model for samlinger af frekvenser. Udviklingen af modellen foregik i forbindelse med et analyse seminar forud for Tristan Murails besøg i Danmark. Det vil føre for vidt at komme ind på alle de aspekter der indgår i evalueringen, kun nogle få skal opregnes her, inden vi ser på den praktiske brug af analyse-modellen.

Grundlæggende antog vi, at for enhver samling frekvenser (fra støj til harmoniske spektre), var det muligt at finde en grundtone (kaldet 'virtuel fundamental'). I ren støj findes alle frekvenser repræsenteret og derfor må grundtonen defineres som værende O Hz. I andre samlinger af frekvenser måtte man kunne udregne den højeste fælles divisor og derved finde grundtonen. Denne metode var ikke praktisk farbar, så vi tyede til de såkaldte pattern matching'. Først ordnes samlingen af frekvenser i stigende orden. Derefter antager vi at den dybeste frekvens er en mulig grundtone. Såfremt der ikke kommer et positivt udfald af denne 'matching', antager vi at den dybeste frekvens er 2. partial-tone. Sådan fortsættes og de positive matchinger udskrives.

Det viste sig hurtigt, at der opstod flere positive 'match'er, som ikke var indbyrdes relaterede og nogle der var. At der opstod indbyrdes relaterede 'match'er er naturligt som følge af at metoden søger gennem det subharmoniske spektrum: når der én gang er et positivt resultat, vil der opstå positive resultater i den derfra udgående subharmoniske række. Mere interessant var evalueringen mellem ikke-relaterede resultater.

Vi benytter to parametre for denne evaluering:

a) 'match'ingens standard-afvigelse

b) kompleksiteten af forholdet mellem de fundne partialtoner.

Standard-afvigelsen er et udtryk for hvor ideelt samlingen af frekvenser 'matcher' med grundtonens overtonespektrum. Jo mindre den er, desto bedre er resultatet. På udskrifterne ses dette angivet som 'standard-deviation'.

Kompleksiteten mellem de fundne partialtoner udregner vi efter en metode udviklet af den indisk/ engelske komponist Clarence Barlow, der idag leder Institut for Sonologi i den Haag. På udskrifterne ses dette angivet som harmonicity': Jo højere harmoniertet, jo 'bedre' er resultatet.

De to parametre evalueres og der beregnes en afstand fra det optimale resultat (kaldet 'zero-distance') hvor standard-afvigelsen er O og harmoniciteten maksimum.

Vi putter den første af vores 3 akkorder fra før gennem vores computer-algoritme: for hver tonehøjde angives tone, oktav og afvigelse i cents.

Programmet omregner selv fra tempereret stemning til absolutte frekvenser. Udskriften på skærmen ser således ud:

ab 10 f 2 O d 3 O a 3 O c#40 eb 40 pitch»partial

hertz: 103.826000 no match!

hertz: 51.913000 no match!

hertz: 34.608667 no match!

hertz: 25.956500 no match!

hertz: 20.765200 no match!

hertz: 17.304333 no match!

hertz: 14.832286 no match!

hertz: 12.978250 no match!

hertz: 11.536222 no match!

hertz: 10.382600 pitch: E-2 12 cents off

standard-deviation: 14.690133

harmonics:

Stack» 10 17 28 42 53 60

harmonicity: 0.005654 zero.distance: 1.005139

hertz: 9.438727 no match!

hertz: 8.652167 pitch: C#-2 -l cents off

standard-deviation: 7.720104

harmonics:

Stack» 12 20 34 51 64 72

harmonicity: 0.010953 zero.distance: 0.992056

hertz: 7.986615 pitch: C-2 -41 cents off

standard-deviation: 8.426150

harmonics:

Stack» 13 22 37 55 69 78

harmonicity: 0.004842 zero.distance: 0.998719

hertz: 7.416143 no match!

hertz: 6.921733 pitch: A-3 12 cents off

standard-deviation: 11.806778

harmonics:

Stack» 15 25 42 64 80 90

harmonicity: 0.015396 zero.distance: 0.991658

hertz: 6.489125 pitch: Ab-3 -l cents off

standard-deviation: 7.014271

harmonics:

Stack» 16 27 45 68 85 96

harmonicity: 0.009996 zero.distance: 0.992485

hertz: 6.107412 no match!

hertz: 5.768111 pitch: F#-3 -5 cents off standard-deviation: 7.861298

harmonics:

Stack» 18 30 51 76 96 108

harmonicity: 0.009713 zero.distance: 0.993403

hertz: 5.191300 pitch: E-3 12 cents off

standard-deviation: 10.658330

harmonics:

Stack» 20 34 57 85 107 120

harmonicity: 0.002986 zero.distance: 1.002695

Hit space to continue, any other key to abort: Terminated ok O

For at evaluere vores resultater kigger vi efter den laveste 'zero-distance', som vi finder ved grundtonen 6.921733 Hz.

Her repræsenterer tonen: abl O partialtonenr.15;
tonen: f 2 O partialtone nr.25;
tonen: d 3 O partialtone nr.42;
tonen: a 3 O partialtone nr.64;
tonen: c# 4 O partialtone nr.80;
tonen: eb 4 O partialtone nr.90.

Putter vi vores anden akkord ind i computer-algoritmen, finder vi blå. flg. to resultater af interesse. Den første er én der ligger tæt op af den sidst udskrevne af målingerne på den første akkord (sml. ovenfor):

hertz: 5.138833 pitch: E-3 -3 cents off

standard-deviation: 11.601724

harmonics:

Stack» 18 23 32 57 86 121

harmonicity: 0.004771 zero.distance: 1.001969

Denne overensstemmelse forklarer vores intuitive oplevelse af fælleskabet mellem de to første akkorder.

Den anden måling der påkalder sig vores interesse er den bedste måling:

hertz: 4.868368 pitch: Eb-3 5 cents off

standard-deviation: 6.308724

harmonics:

Stack» 19 24 34 60 90 128

harmonicity: 0.009834 zero.distance: 0.992174

Når tredie akkord puttes gennem computeralgoritmen finder vi kun to 'match'er indenfor de 200 første partialtoner. Den første og bedste kommer ud på 6.128667 Hz, der er en ren tone: G-3, den anden opstår på frekvensen 3.6772 Hz (tonen: Bb-4 14 cents off). Det er værd at bemærke at kvintrelationen mellem anden akkord: Eb-3 5 cents off og tredie akkord: Bb-4 14 cents off også kan høres, omend den fremtræder mere svækket end relationen mellem første og anden akkord.

Nu er tabel-læsning ikke det mest spændende, så jeg vil straks etablere en ny tabel(!), som et eksempel på den kompositoriske udnyttelse af analysen.

Vi har ovenfor fundet en mulig grundtone for første akkord. Ved at udregne denne grundtones spektrum

kan vi finde frekvenser, der kan belyse denne side af akkordens harmoniske farve og vægt:

6.921733 pitch-base f! ok O
calc.spectrum ok O
l 107 print.spectrum

1. partial: A-3 12 cents off

2. partial: A-2 12 cents off

3. partial: E-l 14 cents off

4. partial: A-1 12 cents off

5. partial: C#0 -2 cents off

6. partial: EO 14 cents off

7. partial: GO -19 cents off

8. partial: AO 12 cents off

9. partial: BO 16 cents off

10. partial: C#l -2 cents off

11. partial: Ebl -37 cents off

12. partial: El 14 cents off

13. partial: F#l -48 cents off

14. partial: GI -19 cents off

15. partial: Ab l O cents off

16. partial: Al 12 cents off

17. partial: Bbl 17 cents off

18. partial: Bl 16 cents off

19. partial: C2 9 cents off

20. partial: C#2 -2 cents off

21. partial: D2 -17 cents off

22. partial: Eb2 -37 cents off

23. partial: Eb2 40 cents off

24. partial: E2 14 cents off

25. partial: F2 -16 cents off

26. partial: F#2 -48 cents off

27. partial: F#2 18 cents off

28. partial: G2 -19 cents off

29. partial: G2 41 cents off

30. partial: Ab2 O cents off

31. partial: A2 -43 cents off

32. partial: A2 12 cents off

33. partial: Bb2 -35 cents off

34. partial: Bb2 17 cents off

35. partial: B2 -33 cents off

36. partial: B2 16 cents off

37. partial: C3 -37 cents off

38. partial: C3 9 cents off

39. partial: C#3 -46 cents off

40. partial: C#3 -2 cents off

41. partial: C#3 41 cents off

42. partial: D3 -17 cents off

43. partial: D3 23 cents off

44. partial: Eb3 -37 cents off

45. partial: Eb3 2 cents off

46. partial: Eb3 40 cents off

47. partial: E3 -23 cents off

48. partial: E3 14 cents off

49. partial: E3 49 cents off

50. partial: F3 -16 cents off

51. partial: F3 19 cents off

52. partial: F#3 -48 cents off

53. partial: F#3 -15 cents off

54. partial: F#3 18 cents off

55. partial: F#3 49 cents off

56. partial: G3 -19 cents off

57. partial: G3 11 cents off

58. partial: G3 41 cents off

59. partial: Ab3 -29 cents off

60. partial: Ab3 O cents off

61. partial: Ab3 29 cents off

62. partial: A3 -43 cents off

63. partial: A3 -16 cents off

64. partial: A3 12 cents off

65. partial: A3 39 cents off

66. partial: Bb3 -35 cents off

67. partial: Bb3 -9 cents off

68. partial: Bb3 17 cents off

69. partial: Bb3 42 cents off

70. partial: B3 -33 cents off

71. partial: B3 -9 cents off

72. partial: B3 16 cents off

73. partial: B3 40 cents off

74. partial: C4 -37 cents off

75. partial: C4 -14 cents off

76. partial: C4 9 cents off

77. partial: C4 32 cents off

78. partial: C#4 -46 cents off

79. partial: C#4 -24 cents off

80. partial: C#4 -2 cents off

81. partial: C#4 20 cents off

82. partial: C#4 41 cents off

83. partial: D4 -38 cents off

84. partial: D4 -17 cents off

85. partial: D4 3 cents off

86. partial: D4 23 cents off

87. partial: D4 43 cents off

88. partial: Eb4 -37 cents off

89. partial: Eb4 -17 cents off

90. partial: Eb4 2 cents off

91. partial: Eb4 21 cents off

92. partial: Eb4 40 cents off

93. partial: E4 -41 cents off

94. partial: E4 -23 cents off

95. partial: E4 -4 cents off

96. partial: E4 14 cents off

97. partial: E4 32 cents off

98. partial: E4 49 cents off

99. partial: F4 -33 cents off

100. partial: F4 -16 cents off

101. partial: F4 2 cents off

102. partial: F4 19 cents off

103. partial: F4 36 cents off

104. partial: F#4 -48 cents off

105. partial: F#4 -31 cents off

106. partial: F#4 -15 cents off

107. partial: F#4 1 cents off

ok O

logend

Her har vi et repertoire hvorfra vi kan fordele supplerende tonehøjder til både akustiske instrumenter (med ringe cent-offset) og elektro-akustik. Vi kan etablere det kontinuum fra harmonik til klang, som er spektral-musikkens kendemærke. Vi kan oprette énharmoniske omtydninger af akkorden ved at benytte vekslende virtuelle grundtoner som udgangspunkt for supplerende toner. Ved at lade de supplerende toner danne nye akkorder, kan man analysere sig frem til nye virtuelle grundtoner og dermed reetablere en harmonisk progression på et generelt og formaliseret grundlag uden at opgive retten til intuitive valg mellem forskellige løsninger.

Brugen af spektral tænkning tillægger jeg intet selvstændigt betydningsindhold. Det fremgår, at de mulige 'grønne' aspekter modvirkes af 'sorte' teknikker: aggregatfiksering og sæt-transpositioner samt disses filtrering igennem aggregatet. Heller ikke dette niveau kan tillægges et selvstændigt betydningsindhold, idet der senere i kompositionsprocessen overlejres flere -undertiden interrelaterede - strukturer, blå. instrumentation og dynamik. Disse strukturer kan være formaliserede, lineære, ikke-lineære, intuitive. De kan vekselvirke med omgivelserne, og de kan brydes, hvorved de 'artikulerer' struktur-komplekset gennem dettes sammenbrud.

Mens jeg arbejder oplever jeg undertiden 'billeder' af værkets indre kompleksitet: sammenspillet mellem de forskellige strukturer. Disse billeder er kaotiske som den hverdag, der er virkeligheden og erfaringsfeltet: ét øjeblik komponerer jeg, det næste underviser jeg i MIDI-kommunikation, drikker mig fuld med Morton Feldman, eller tager stilling til fagpolitiske spørgsmål, er på punker-klub i Glasgow, holder prøver med musikere, med 20 teenage-piger, med 10 fanger i Vestre Fængsel, trykker hænder med Chrennikov...wie die Zeit vergeht!

Virkeligheden overgår fantasien og kun dét må musikken leve op til.